Могу ли я получить постоянные регистрационные номера на автомобиль в Москве, если я там не прописан?

Нет. Только в регионе своей постоянной регистрации. Если в Москве есть временная регистрация, можете поставить авто на временный учет и продлевать при продлении своей регистрации.