Не выписываю счета-фактуры на аванс в момент оплаты, потому что оказание услуг ежемесячное и в конце месяца произойдет

Не выписывать счет-фактуру на аванс можно только если реализация товаров и услуг происходит в течение 5 дней с момента получения денег и в один налоговый период. Так разъясняет Минфин в Письме от 06.03.09. №03-07-15/39. С этого года счет-фактура на аванс стало обязанностью. При ежемесячных авансовых платежах по долгосрочным договорам возможно выставление счет-фактуры на аванс по нескольким платежам одновременно.
Вас не превлекут к отвественности по ст. 122 НК РФ за то что не показали начисление и вычет НДС в одной и той же сумме, так как перед бюджетом задолженностей нет (п. 42 Пленума ВАС РФ от 28.02.2001 №5), но за неверное оформление книг покупок и продаж, а так же за документооборот с покупателями к вам привяжутся. Помимо приславутого штрафа в 50 рублей за каждый отсутствующий документ, штрафа за нарушение ведение учета главному бухгалтеру не избежать.

При проверке налоговая может оштрафовать лично (!) главного бухгалтера за неправильное ведение учета от 5000 руб

а-та-та!

Если Вы по этим авансам НДС в декларации не показали (так же как и вычетов) , то формально налоговая может Вам доначислить этот НДС, поскольку включение авансов в налоговую базу по НДС - это Ваша обязанность, а принятие НДС с авансов к вычету - Ваше право, которым Вы не воспользовались. С большой вероятностью придется судиться, но в суде Вы скорее всего Вашу правоту докажете.
Штраф пять тысяч лично Вам как главбуху не грозит, это штраф который предъявляется организации за грубое нарушение порядка ведения учета. Вас лично могут попытаться привлечь на 3 тысячи, опять же за грубое нарушение порядка ведения бухучета, но и в том, и в другом случае это будет незаконно, т. к. , счет-фактура не является учетным документом для бухучета.
Штраф 50 руб. берется, только если Вы не представили эти счета-фактуры в налоговую, когда она прислала соответствующий запрос.