Должны ли мне платить аванс за май, если у меня был отпуск, например с 24.04 по 07.05???

Если немного поискать в К+, можно найти следующее:
Обязанность организации выплачивать заработную плату не реже чем каждые полмесяца предусмотрена ст. 136 ТК РФ. Эта статья регулирует общий порядок выплаты зарплаты, но не устанавливает конкретные даты (числа) для выплаты ее первой и второй части, а также не указывает размеры этих частей. Организации должны определять их самостоятельно, предусматривая соответствующие положения в правилах трудового распорядка, коллективных или трудовых договорах.
Трудовым кодексом не установлены правила начисления зарплаты за первую половину месяца, организации на практике применяют два метода расчета зарплаты за указанный период: авансовый и расчетный (безавансовый) .
Размер аванса не зависит от количества фактически отработанного времени в периоде, за который начисляется аванс. Поэтому, как правило, сумма аванса, выплачиваемая в любом календарном месяце (включая месяцы с праздничными днями) , не меняется.
При расчетном методе заработная плата за первую половину месяца начисляется исходя из фактически отработанного времени (норм выработки) в данном периоде.
Примечание. Трудовой кодекс не содержит понятия "аванс". Однако оно широко применяется на практике и означает сумму зарплаты работника за первую половину месяца.

Плюс, от себя могу добавить, что были письма от "письмописателей" с разъяснениями, что размер аванса должен примерно соответствовать отработанному времени, за которое аванс выплачивается. В Вашем случае можно сделать приблизительный расчет: берете свою обычную зп (без премий и т. п.) , делите на кол-во рабочих дней в мае и умножаете на кол-во отработанных дней с 07 по 15 мая. Повторюсь: расчет примерный, но порядок суммы поможет определить.

нет в трудовом законодательстве такого понятия - "аванс", оно осталось в СССР.
в соответствии со ст. 136 ТК РФ, работодатель обязан не реже, чем раз в полмесяца выплачивать заработную плату. в первой половине месяца вы отработали с 08.05 по 15.05, т. е 5 дней (если у вас обычная пятидневка) и за отработанные 5 дней вам обязаны выплатить заработную плату.

Должны за период с 08 по 15 мая

Должны, но сумма соответственно будет небольшая.

Почитайте положение об оплате труда, принчятое на вашем предприятии. Как правило аванс выплачивается за первую половину месяца, то есть действительно вым должны выплатить аванс с 8-го по 15-ое мая. Но опять же прочтите положение об оплате (кстати вы должны были расписаться в нем, что ознакомлены при приеме на работу).