Подскажите, пожалуйста! Обязаны - ли ИП на ЕНВД вести книгу учета доходов и расходов, возможно - ли обойтись без нее?

Из вопроса : "знаю, что по упрощенной системе налогообложения ее не должны потребовать на проверку, "

Вы ошибаетесь, при УСН ее (КУДиР) как раз и требуют на проверку.

Но ведь вопрос про ИП на ЕНВД, а это разные понятия.

Индивидуальные предприниматели, которые применяют режим ЕНВД, освобождены от уплаты НДФЛ (абз. 2 п. 4 ст. 346.26 НК РФ) . Поэтому вам не нужно вести книгу учета доходов и расходов и хозяйственных операций по доходам от деятельности, облагаемой ЕНВД. Основание - п. 3 Порядка учета хозяйственных операций, Письма Минфина России от 09.07.2010 N 03-11-11/192, от 19.04.2010 N 03-11-11/106.
ЕНВД облагается вмененный доход налогоплательщика, величина которого определяется расчетным путем. Об этом говорится в ст. 346.29 Налогового кодекса РФ.
Учет имущества, обязательств и хозяйственных операций в отношении видов предпринимательской деятельности, подлежащих налогообложению ЕНВД, ведется в общеустановленном порядке, только если налогоплательщик совмещает спецрежим в виде ЕНВД с иными системами налогообложения. Это следует из п. 7 ст. 346.26 Налогового кодекса РФ.
Если вы совмещаете "упрощенку" и "вмененку", то доходы, которые вы получили от деятельности по режиму ЕНВД, и расходы по этой деятельности также не нужно отражать в Книге учета доходов и расходов.

У нас кто на ЕНВД никаких книг не ведут, и кассовых аппаратов нет!

Нет не обязаны