Оформление в двух местах

Никак нельзя. Ибо потом и тебя и работодателей налоговая нагреет, а потом и пенсионный фонд.

Конечно, можно. Если второго работодателя устроит, что работать у него вы будете в свободное от основное работы время. В ТК РФ есть такое понятия, как работа по совместительству. На сегодняшний день запись в трудовую книжку о работе по совместительству делается по личному заявлению работника работодателем по основному месту работы. Не нужна вам эта запись значит просто по основному месту работы о том, что еще где-то работаете просто не сообщайте.
С совместителем так же заключается трудовой договор, работа по совместительству регламентируется ТК РФ.
Основной работодатель не узнает, если вы сами не скажете.
Но, с 01.01.2020 вводят всё таки электронные трудовые книжки, что в них будем указывать пока непонятно, возможно и принимая на работу совместителей будем это в электронных трудовых отражать, а значит скрыть от работодателей ничего не получится, доступ к электронной трудовой книжке будет у любого работодателя.

Что мешает вторую трудовую завести или по договору

Отметку в трудовой ставить не обязательно. Трудовые вообще хотели отменить. Заключаешь трудовой договор с другой организацией, работаешь, если они согласны что ты не у них в офисе сидишь постоянно. Они за тебя платят налоги, по основному месту это нельзя проверить. Сдаешь декларацию в налоговую самостоятельно указываешь справки с обоих мест. Если хочешь вычет. Если вычет не надо, то декларацию не обязательно подавать, за тебя НДФЛ ведь удержали и уплатили. Сейчас в личном кабинете nalog.ru справки вообще автоматом подтягиваются, по данным организации. Есть ограничения если основная работа - служба в бюджете или допустим нотариус. Им запрещено где-то еще работать. Или в трудовом на основной работе прямо прописано где ты не можешь параллельно работать, обычно запрещают работать у конкурентов или где ты можешь использовать полученные на основной работе знания, получается как бы за их счет. Если деятельность вообще никак не пересекается, например учитель а вечерами грузчиком в порту - кому какое дело.