Вы просили умный вопросик? Так вот он. Вопрос внутри

За 4 взвешивания не фокус.
Эту задачу можно решить за 3 взвешивания.

Постараюсь не длинно расписать задачу с монетами)
Для простоты рассуждений пометим монеты:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Разместим их тремя группами:
Гр. 1 - 1 2 3 4
Гр. 2 - 5 6 7 8
Гр. 3 - 9 10 11 12
1. Кладем на весы Гр. 1 и Гр. 2

2. Рассмотрим вариант, когда весы в равновесии.

3. Значит фальшивые монеты в Гр. 3

4. Берем три монеты из Гр. 3 на одну чашку весов и три монеты из любой «нормальной» группы.

5. Если равновесие, то оставшаяся монета Гр. 3 фальшивая.

6. Если не равновесие, то мы знаем три монеты из Гр. 3 среди которых есть одна фальшивая и по положению весов знаем тяжелее или легче, т. к. на одной из чашек весов монеты «нормальные» .

7. Ну, а с тремя монетами проблем нет.

8. По одной из фальшивой тройки на весы и вывод ясен. Либо какя-то из них. Либо оставшаяся.

Теперь начинается самое интересное:

1. Кладем на весы Гр. 1 и Гр. 2

2. Весы не в равновесии

3. Значит фальшивые монеты в одной из этих групп, а в Гр. 3 монеты настоящие. И кроме того мы замечаем на будущее какая из групп взвешиваемых легче, а какая тяжелее (допустим монеты Гр. 1 тяжелее)

4. Теперь делаем следующее взвешивание, переложив монеты следующим образом

4.1. Из группы 1 снимаем три монет и откладываем их в сторону, заменяя их тремя монетами из оставшейся нормальной группы 3.

4.2. Оставшуюся неопознанную монету из этой новой группы, где мы положили три нормальные, меняем местами с одну из монет Гр. 2

4.3. Таким образом у нас получаются новые группу: Гр. 1_1, где три монеты нормальные и одна из группы 2, и группа 2_1, где одна монета из группы 1 и три оставшиеся.

5. Варианты:

5.1. Положение чашек весов не изменилось.

5.2. Значит, фальшивая монета в той группе, где мы монеты не меняли на три нормальных, т. е. в группе 2_1 и эта монета, которую мы переложили из гр. 1. И при этом мы знаем что она (фальшивая) легче. (Мы ведь договорились, что монеты Гр. 1 тяжелее)

5.3. Ну, а раз тройка вместе с фальшивой известна, да еще известно, что фальшивая легче, то определить не составит труда.

5.4. Второй вариант, когда положение чашек с весами изменилось на противоположное.

5.5. Значит фальшивая монета среди тех, которые мы поменяли местами. Но, правда, мы не знаем легче она или тяжелее. Но, имея в запасе нормальную монету, третьим взвешиванием мы ее легко найдем.

5.6. И, наконец, третий вариант: Чашки весов пришли в равновесие.

5.7. В этом случае фальшивые монеты в отложенной группе и мы знаем, легче они были или тяжелее. И определить какая из них фальшивая не составит труда.

если весы рычажные, то сравниваем 4-4,потом одну из первых 4 с оставшейся 4-ой, находим нужную 4-ку, потом сравниваем 1-1,и ещё раз 1-1 заменив одну монету на весах

1) делим 12 попола, взвешиваем, запоминаем, какая кучка больше, какая - меньше весит.
2,3) каждую 6-ку делим пополам, взвешиваем. В одной паре вес будет равный - это правильные монеты. Если они в шестёрке, которая была меньше по весу, значит фальшивая тяжелее. Если они - в шестёрке, которая была больше по весу, значит фальшивка легче нормальных монет. На рисунке представлен именно этот вариант.
4) ту тройку, где (теперь можно понять) содержится фальшивка, разделяем на 2 монеты, которые взвешиваем и одну, отложим в сторону. Если весы показывают равный вес, значит фальшивка - отложенная. Если ж весы показывают, что одна монета легче другой, значит она и есть фальшивка.