Можно ли после обучения в вузе остаться там преподавать???

Можно, только если есть цель защитить кандидатскую. Если Вы работаете преподом в вузе и не имеете ученой степени, то старший преподаватель для Вас - потолок карьеры, а Ваша зарплата реально нищенская. Более того, если будет не хватать нагрузки - Вами пожертвуют в первую очередь, а если будете брыкаться - просто не переизберут.
Вобщем, если хотите преподавать в вузе, начните с того, а будете ли Вы защищаться. Если "наверное, да", или "не знаю", то в вузе делать нечего, идите лучше в техникум, там сейчас и зарплаты хорошие. Если "я уже знаю, своего руководителя диссертации и занимаюсь научной работой под его руководством, мне известно направление моей будущей диссертации" - тогда стоит подумать. Именно "стоит подумать", а не да-да-да. Многих "перспективных" студентов потом потерпят на кафедре несколько лет - ну не защищается человек (работу нашел, семья, ребенок, руководителю некогда - нужное подчеркнуть) - а потом его "уходят". Неостепененный препод тянет вниз показатели остепененности и долго его терпеть не будут.
И еще - есть наблюдение. Самые несправедливые или неадекватные препода встречаются среди вот таких, незащитившихся. Вероятно, свой комплекс, связанный с неоправдавшимися надеждами, они переносят на студентов, хотя по сути - выше их всего на одну-две корочки, которую получают после защиты ВКР.

Можно, если захотят оставить.

После бакалавриата нельзя. Только после магистратуры или специалитета. Можете попроситься на кафедру, а вот захотят ли Вас принять в ряды своих коллег, это еще неизвестно.

если там были и педагогические специальности, то можно после просто института

Можно, если параллельно учитесь в аспирантуре

После магистратуры