Какие ограничения в правах, помимо установленных в статье (штраф\арест), следуют из наличия административной судимости?

Административной судимости не существует. Есть административное наказание.

Статья 3.2. Виды административных наказаний

1. За совершение административных правонарушений могут устанавливаться и применяться следующие административные наказания:
1) предупреждение;
2) административный штраф;
3) возмездное изъятие орудия совершения или предмета административного правонарушения;
4) конфискация орудия совершения или предмета административного правонарушения;
5) лишение специального права, предоставленного физическому лицу;
6) административный арест;
7) административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства;
8) дисквалификация;
9) административное приостановление деятельности.

Статья 3.3. Основные и дополнительные административные наказания

1. Предупреждение, административный штраф, лишение специального права, предоставленного физическому лицу, административный арест, дисквалификация и административное приостановление деятельности могут устанавливаться и применяться только в качестве основных административных наказаний.
2. Возмездное изъятие орудия совершения или предмета административного правонарушения, конфискация орудия совершения или предмета административного правонарушения, а также административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства может устанавливаться и применяться в качестве как основного, так и дополнительного административного наказания.
3. За одно административное правонарушение может быть назначено основное либо основное и дополнительное административное наказание из наказаний, указанных в санкции применяемой статьи Особенной части настоящего Кодекса или закона субъекта Российской Федерации об административной ответственности.

В органы не возьмут, если штрафы не погашены и соответственно был арест или лишения прав.