Кто прав?

Она не станет заявлять в полицию, потому что полиция получив объяснение от неё и от Вас, установит, что Вы там проживали за деньги, т. е. фактически по договору поднайма жилого помещения. Согласно налоговому кодексу РФ, в налоговую базу входят доходы, полученные в том числе и от сдачи жилья в поднайм. Так что ей будет дороже заморочки с полицией и конфликт с Вами. Вы прямо скажите, что заявите в налоговую, если пенсионерка ведёт себя неправильно.

У Вас договора нет!!!! Поэтому она права

при отсутствия договора ВЫ самоуправно занимаете помещение (с юр. точки зрения) . Единственное можете сказать полиции, что они не имеют право заниматься процедурой выселения, только имеет прав судебный пристав по решению суда. Поэтому пусть женщина обращается в суд. Если полиция будет гнуть пальцы, спокойно спросите, представьтесь, назовите ФИО, должность и норму права, на которую ссылаетесь требуя, чтобы я покинула дом. У нас заключен договор аренды, который находится у моего риэлтора, поэтому сегодня Вам предъявить не могу

правы вы

Без договоров сложно. И скорее всего она выгонит. А Вы потом может искать свидетелей что Вы платили, снимали прочее. Но уже на улице. Попробуйте припугнуть незаконной деятельностью. Вряд ли она платила налоги. Заявление в полицию на неё - брала деньги за съем жилья. Штраф выпишут немалый.

Вадиму, Марине и Александру
договор между ними существует, называется она договор найма жилого помещения. договор - это не бумажка, как неверно понимают большинство наших граждан, договор это соглашение между сторонами. а бумажка, письменная форма (выражаясь юридическим языком) - это всего лишь форма выражения договора. в подавляющем большинстве случаев отсутствие письменной формы не влечет недействительность договора, как и в случае с автором вопроса.
единственным изъятием, пороком отсутствия письменной формы является то, что при возникновении тяжбы стороны не имеют право ссылать на показания свидетелей, однако в остальном они могут приводить любые доказательства существования отношений. так что бабуля крайне неправа! она вообще не имеет право в одностороннем порядке расторгать договор жилищного найма, если у нее нет на то строго ограниченных оснований.