Какая разница между аппеляционнной и кассационной жалобой на решении судьи?

Если речь о гражданском процессе, то

Решения суда первой инстанции, НЕ ВСТУПИВШИЕ В ЗАКОННУЮ СИЛУ, могут быть обжалованы в апелляционном порядке

ВСТУПИВШИЕ В ЗАКОННУЮ СИЛУ судебные постановления, за исключением судебных постановлений Верховного Суда Российской Федерации, могут быть обжалованы в суд кассационной инстанции лицами, участвующими в деле, и другими лицами, если их права и законные интересы нарушены судебными постановлениями.

Разница, как видите в том, что в апелляции обжалуется НЕ вступившее в законную силу решение, а в кассации ВСТУПИВШЕЕ в законную силу решение суда.

Если об административном, то понятий апелляция и кассация в нем нет.

Правильный ответ на этот вопрос займёт изрядно много места, к тому же в начавшемся году один только ГПК претерпел столько изменений, что гражданский процесуальный закон фактически сменился.

Прежде в ГПК кассационное обжалование могло иметь место как в случае со вступившими, так в случае и с не вступившими в силу решениями (Кассация - для не вступиших в силу решений районных (городских) судов и Апелляция - для не вступивших в силу решений мировых судей) .
Сечас в ГПК это поряок сменниля новым, а вот в УПК рассматриваемый порядок остался.

В РФ, до Нового года, согласно всем существующим процессуальным законам, разница между кассацией и апелляцией заключалсь именно в уровне суда, решение которого обжалуется, а вовсе не в том, вступило решение в силу или нет и не в том, может суд пересмотреть дело заново или нет.

В отношеии КоАП (вероятно, ваш вопрос связан именно с этим кодексом) .
В КоАП РФ понятий апелляция и кассация не содержит - это вообще самый позорный кодифицированный акт в РФ, как по содержанию отдельных норм, так и по недстатку прцессуальных положений. Именно по этому, одни и теже судьи (как мировые, так и судов общей юрисдикции) , умудряются, при производстве по делам об АПН, то применять ГПК, то обосновывать его неприменимость.

Даже ВС РФ не понимает (что очевидно при изучении соответствующих постановлений его Пленума) , в какой мере подлежит применению ГПК к производству по делам об АПН и подлежит ли вообще.

В Арбитраже проще - арбитражниые суды ведут процессы по делам об АПН, руководствуясь АПК, с учётом противоречащих отдельным положениям АПК процессуальных положений КоАП.

В связи с изложенным выше, все суды так или иначе применяют при производстве по делам об АПН понятия апелляция и кссация, но смысл этих понятий является различным в зависимости от компетенции суда и вида процесса.

А ещё, хотелось бы наконец понять, что же мешает такой стране, как Россия, рзрешить давно и сильно зудящий вопрос НОРМАЛЬНОГО правового регулирования производства по делам об АПН в судах общей ююрисдикции и мировых судах?
В Беларуси административно-процессуальный кодекс действует не первый год.. .

В суде апелляционной инстанции дело слушается заново..., т. е. вновь проводится судебное следствие... с вызовом (при необходимости) свидетелей, потерпевших... письменные материалы дела исследуются.. . и в итоге. . либо приговор (решение) отменяются и выносится новый (ое)..., либо изменяется.. , либо остаётся в силе.. . Но в любом случае. . надо проводить судебное разбирательство... .
В кассации.. всё проще.. . там судебного следствия нет.. . (отменить, изменить, оставить в силе.. . )Только по материалам дела...

Апелляция и кассация по сути ничем не отличаются. И там и там обжалуются не вступившие в законную силу приговоры (постановления) . На приговор (постановление) мирового судьи подаётся апелляционная жалоба. На решение по апелляционной жалобе, приговор (постановление) суда (кроме мирового) подаётся кассационная жалоба. На вступивший в законную силу приговор (постановление) подаётся надзорная жалоба. В административке кассаций и апелляций не существует.