В школу берут только по прописке?

Нет, не обязательно.
Обычно, безусловно, школа старается набирать в первую очередь тех, кто живет рядом. А при наличии свободных мест - остальных.
Но вообще все зависит от статуса школы. Если это обычная дворовая СОШ, то, понятное дело, они будут брать кого угодно и без разбору, и в первую очередь к ним пойдут те, кто живет рядом.
Если же эта школа более сильная, с хорошим уровнем подготовки - гимназия или лицей - они будут более избирательны в этом плане. Будут смотреть на успеваемость ребенка и место жительства не будет иметь значения.

И ещё по деньгам...

В первую очередь. В других случаях - при наличии свободных мест\

Прописка в РФ отменена; адрес регистрации не влияет на право получения услуг общего образования, медицинской помощи и прочих подобных. Вам же, если у Вас украли кошелёк на вокзале, не требуется ехать к Вашему участковому в другой район города или в другой город, верно? Вот, это такая же услуга.

Правила приема граждан в муниципальные учреждения для обучения по основным общеобразовательным программам должны обеспечивать прием в указанные образовательные учреждения граждан, которые проживают на территории муниципального района, городского округа, закрепленной соответствующими органами местного самоуправления за конкретным муниципальным учреждением (далее - закрепленная территория) , и имеющих право на получение общего образования (далее - закрепленные лица) 1.
6. Закрепленным лицам может быть отказано в приеме только по причине отсутствия свободных мест в учреждении2.
В случае отказа в предоставлении места в учреждении родители (законные представители) для решения вопроса об устройстве ребенка в другое учреждение обращаются в органы местного самоуправления в сфере образования соответствующего муниципального района, городского округа.
7. Прием закрепленных лиц в учреждения всех видов осуществляется без вступительных испытаний (процедур отбора) .
Государственные учреждения, негосударственные учреждения, реализующие на ступени основного общего и среднего (полного) общего образования общеобразовательные программы углубленного и/или профильного изучения отдельных предметов, в целях наиболее полного удовлетворения потребностей обучающихся предусматривают в правилах приема граждан в учреждения на соответствующие ступени механизмы выявления склонностей детей к углубленной и/или профильной подготовке по соответствующим учебным предметам.
Так что если у Вас на районе супер пупер лицей сделали вместо школы обязаны принять без вступительных экзаменов.

ну не. по доброте душевной, по результатам вступительных (лицеи, гимназии) , за взятку тоже, да =_=