Для того, чтобы поставить песню в свой фильм или мультик нужно платить деньги?

Очень много вопросов в одном. И в ответах есть разница. Музыка - одно, ФИО певца - другое, бренд - третье. Многое зависит от контекста. Вообще есть такая "штука", называется: Закон РФ об авторском праве и смежных правах. Там Вы найдете ответ на все свои вопросы :)
Ну, а если вкратце, то практически у любой "вещи" (музыка, песня, слово, название, слоган, лейбл) есть правообладатель. Используя принадлежащую кому-то "вещь" Вы должны получить его согласие на то. Так, что все зависит от того, что Вы собираетесь дальше делать со своим мультиком.
1) Если пустить в эфир 1го канала (например), то Вам абсолютно точно необходим договор с каждым правообладателем каждой конкретной мелодии или песни где тот Вам передает права на использование своего произведения на возмездной или безвозмездной основе. Во-первых это потребует сам канал, а во-вторых даже если он не потребует, а этого не сделать, то правообладатель может узнать, что его произведение использовано без его разрешения и Вам, как результат, кердык :)
2) Ютуб (и пр.) - ставите что хотите. Максимум, что "грозит" если правообладатель заявит о себе это "закрытие" мультика, а если это заметят модераторы - ограничение к показу в определенных странах где "живет" правообладатель. Проверено на собственном опыте :)
3) Если просто так - ну тут и так всё понятно :)
И не забываем о "рекламной" составляющей. Если Вы "рекламируете" бренд (певца и пр.) в своем мультике то эфирная площадка может запросить маржу, запретить ввиду присутствия рекламы и т. п. Опять же зависит от каждого конкретного случая и контекста его применения.

Вставляй старые советские песни и проблем не будет