Есть ли в Японии такой праздник – День Аматэрасу? Если да, то какого числа?

Напрямую праздника богини-солнце вроде нет, но к другим праздникам и фестивалям примазывается
http://www.sutemi.ru/articles/istorija-prazdnika-kagami-biraki.html
Само бронзовое зеркало (Yata-no Kagami - 八咫鏡), символизирующее мудрость и подаренное богиней Солнца - Аматэрасу Омиками ( 天照大神) её внуку - Ниниги-но Микото (瓊瓊杵尊), а им в своё время — его внуку Дзимму (神武天皇), первому императору Японии, в настоящий момент хранится в синтоистском святилище Исэ ( 伊勢神宮 - Исэ-Дзингу, префектура Маэ).

Существует несколько легенд происхождения праздника "Кагами-бираки".

По одной из них, некий бог из-за своего необыкновенно жестокого характера был заточен другими богами в пещере, в которой натолкнулся на зеркальную поверхность. Он долго смотрел на собственное отражение, пока, наконец, не увидел свою душу и не разобрался в своих поступках и мыслях. Созерцая себя в течение долгих лет, бог изменился и был прощен. Существует и другая легенда, также связанная с зеркалом, пещерой и божеством, точнее, богиней. Когда богиня Солнца - Аматэрасу Омиками (天照大神) – после ссоры с братом - Сусаноо-но Микото ( 須佐之男命)удалилась в пещеру Ama-no-Iwato (天岩戸), на Земле наступил мрак.

нету но там отмечают день "бесконечного цукиеми"

- Аматэрасу Омиками ("Великая, священная богиня, сияющая на небе"), в японской мифологии богиня солнца и прародительница японских императоров, глава пантеона синтоистских богов.
В провинции Исэ, на берегу Тихого океана, воздвигнут комплекс святилищ для поклонения Аматэрасу. Главной жрицей этого комплекса становится незамужняя принцесса.
В некоторых мифах «Нихонги» Аматерасу под именем О-хирумэмути ухаживает вместе с людьми за полями риса, организует праздник, который сохранился до наших дней – Праздник «первого риса».
http://panteonbogov.ru/article/bogi/yaponskii-panteon/amaterasu

Её днём мог бы быть день летнего солнцестояния, но японцы не любят говорить про свою национальную веру с гайдзинами