его отец Ким Моисеевич Вайнштейн был по профессии инженером-энергетиком,
мать Клара Шагеновна Каспарова — инженером, специалистом по автоматике и телемеханике. Каспаров еврейского происхождения по отцовской линии и армянского — по материнской.
Дед Гарри — Моисей Рубинович Вайнштейн (1906—1963) — был известным бакинским композитором и дирижёром, заведующим музыкальной частью нескольких драматических театров города. Вся семья с отцовской стороны была музыкальной: младший брат отца Леонид Моисеевич Вайнштейн — тоже композитор, заслуженный деятель искусств Азербайджана, бабушка — учитель музыки в средней школе. Двоюродный брат Тимур Вайнштейн — телепродюсер.
Сыновья М. Р. Вайнштейна — Ким Вайнштейн, инженер-энергетик (отец Гарри Каспарова) ,
Леонид Вайнштейн — композитор, заслуженный деятель искусств Азербайджана, участник команды-победителя КВН 1967 года, автор музыки к кинофильму «Тайна корабельных часов» (1983), оперетт, кантат для хора, песен.
Внук М. Р. Вайнштейна — Тимур Леонидович Вайнштейн - потомственный КВНщик, художественный руководитель команды «Парни из Баку» , победительницы КВН 1992 года. В 2000 году был режиссером программы «Планета КВН» и сериала «КВН. 40 лет шутя» . В том же году «Парни из Баку» стали победителями «Турнира лучших команд КВН ХХ века» .
Родители Каспарова увлекались шахматами и решали шахматные задачи, публиковавшиеся в газете. Гарри часто следил за ними и однажды подсказал решение; ему было пять лет. После этого отец обучил Гарри игре. Регулярные занятия шахматами Гарри начал в бакинском Дворце пионеров в семь лет, его первым тренером стал мастер Олег Приворотский. В этом же возрасте он потерял отца, который умер от лимфосаркомы.
Клара Шагеновна после смерти мужа целиком посвятила себя шахматной карьере сына. В 1975 году, когда Гарри было 12 лет, Клара Каспарова сменила его фамилию с отцовской Вайнштейн на Каспаров. Это было сделано с согласия родственников для облегчения дальнейшей шахматной карьеры юного, но уже подающего серьёзные надежды шахматиста, которой мог помешать существовавший в СССР антисемитизм
