При наличии всех документов водитель не был вписан в страховой лист Какое за такой проступок следует наказание?

300 рублей.

12.37 ч. 1 КоАП

Управление ТС в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев ТС, а равно управление ТС с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим ТС только указанными в данном страховом полисе водителями.

Не вписан в страховку = езда без полиса ОСАГО.
Ст. 12.37, ч. 2:
"Неисполнение владельцем транспортного средства установленной федеральным законом обязанности по страхованию своей гражданской ответственности, а равно управление транспортным средством, если такое обязательное страхование заведомо отсутствует" - штраф - от 500 до 800 руб. + запрещение эксплуатации ТС со снятием ГРЗ.

штраф... и личная материальная ответственность в случае ДТП...

либо это: 12.37 ч. 1Управление ТС в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев ТС, а равно управление ТС с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим ТС только указанными в данном страховом полисе водителями -штраф 300 руб.

либо это: 12.37 ч. 2Неисполнение владельцем ТС установленной федеральным законом обязанности по страхованию своей гражданской ответственности, а равно управление ТС, если такое обязательное страхование заведомо отсутствует- штраф от 500 до 800 руб.
запрещение эксплуатации ТС со снятием государственных регистрационных знаков*

Штраф 300рублей, если рядом есть человек, на которого страховка написана. А так - еще и штраф-стоянка.
если будет ДТП - еще и возмещение ущерба в полном объеме потерпевшему. .

В случае аварии страховая фирма не несет материальной ответственности по договору ОСАГО (КАСКО), т. е. весь ремонт Вы оплатите из собственного карамана+штраф вам и собственнику. То, что у Вас есть доверенность говорит только о том, что кто-то дал Вам попользоваться своей собственностью.

штраф