авто страхование

Талон техосмотра прежний владелец пусть Вам отдаст. Если в талоне указан ВИН-код авто, или указан госномер авто, а номера Вы оставляете, то с талоном ничего делать не надо. Если же указан номер авто, а Вы получаете свои номера, то после постановки на учет замените этот талон на новый, который выдадут на срок действия старого, с указанием в нем ВИН-кода.
По страховке. При согласии прежнего владельца страховку надо переоформить на Вас как нового владельца. Это может сделать только страхователь по полису (как правило, это и есть владелец авто) . Идёте с ним в СК с паспортами, полисом, ДКП, ПТС с внесенными изменениями по смене владельца, Вашими правами. Страховщик произведет перерасчет (возможна доплата по Вашим данным по возрасту, стажу, региону) , внесет изменения в свою базу и оформит дубликат полиса. Вы будете записаны Собственником авто, Страхователь остается прежним. Только тогда страховка будет действительна для Вас весь свой срок. При переоформлении страховки талон ТО не требуется.
ПС: Но прежний владелец вправе либо досрочно расторгнуть страховой договор и получить остаток денег за неиспользованный период, либо перенести этот остаток на новую страховку для другого авто. Тогда вам надо будет оформлять свою страховку ОСАГО.

Когда закончится тех осмотр и страховка машины т. е. старого хозяина.

Тех осмотр проходить не надо, а страховку вы будете теперь уже на себя оформлять. Собственник и страхователь ведь другой человек.