Поцарапали машину во дворе. ГИБДД-ник дал справку, что при невыясненных обстоятельствах. ЧТо дальше? Ждать постановления?

Что есть "невыясненные обстоятельства"? Противоправные действия третьих лиц? Вот и смотрите, что у Вас в страховом договоре и правилах страхования об этом сказано. Ведь речь про КАСКО, да? Потому как для ОСАГО виновник нужен. А так завели дело, через положенный срок закроют, документы выдадут. Тогда и довезете их в СК.
А вот заявить о страховом случае в СК надо как можно скорее - опять же см. условия своего страхового договора.

Мне задели бампер во дворе вызвала ГАИ, приехали дали справку поехала в страховую, через 30 дней выплатили так как от их ремонта отказалась, но бывали случаи когда страховая и отказывает, это зависит от договорённости и правдивости ситуации

Ситуация, как у Регины, только бочину помяли. Позвонил гайцам и в СК, гай выдал справку, приехал в СК, оценили, отремонтировали, но было КАСКО, как по ОСАГО - хз

Если у вас ОСАГО то на выплаты можно не рассчитывать.

Если КАСКО, то фразы "обстоятельства неизвестны" очень нежелательны, т. к. влекут за собой отказ в выплате. А вот формулировка: "такого то числа, в промежуток времени с 10 утра до 8 вечера, неустановленным автомобилем были причинены следующие повреждения" - это более правильно. В любом случае дожидайтесь ответа страховой. Если откажут, то обращайтесь к юристу

самому к ним сходить а то ждать их постановления полгода