Имеет ли право страховая предъявить регресс виновнику ДТП?

Случаи, в которых Страховщик имеет право отказать в выплате по ОСАГО, перечислены в Законе об ОСАГО и Правилах ОСАГО. Такого основания для отказа в выплате, как отсутствие талона ТО или ДК, не предусмотрено. У потерпевшего талон ТО страховщик вообще запрашивать не вправе - он не входит в число документов, подаваемых для получения выплаты ущерба. А у виновников ДТП талон ТО запрашивают у водителей ТС, используемых для перевозки пассажиров или опасных грузов. Им в случае отсутствия действующего талона ТО страховщик предъявит регрессные требования для возмещения своих затрат на выплаты потерпевшим. Это отражено в Законе об ОСАГО (ст. 14, п. 1) и Правилах ОСАГО (п. 76ж) ).
Про остальных водителей ничего не сказано.

раз они выдали ОСАГО - значит на момент оформления карта была.

Отсутствие диагностической карты НЕ является основанием к отказу в выплате страховки (или предъявлению регрессных требований) .
Исключения: коммерческая перевозка пассажиров, перевозка опасных грузов.
В п. 1 Статьи 14. "Право регрессного требования страховщика" говорится :
"на момент наступления страхового случая истек срок действия диагностической карты, содержащей сведения о соответствии транспортного средства обязательным требованиям безопасности транспортных средств, легкового такси, автобуса или грузового автомобиля, предназначенного и оборудованного для перевозок людей, с числом мест для сидения более чем восемь (кроме места для водителя) , специализированного транспортного средства, предназначенного и оборудованного для перевозок опасных грузов. "
Про остальные транспортные средства НИЧЕГО не сказано !!!

п. 1 ст. 14 ФЗ "Об ОСАГО": да, предъявить могут, если истек срок действия диагност. карты. Просто не оформлять карту у вас бы вряд ли получилось, вы наверно просто ТО не проходили и всё. Её выдают (а не оформляют) при прохождении ТО. Но в таком случае вам опять же по закону не имели право продавать полис осаго.