после ДТП с пьяницей

Потерпевший может обращаться в СК виновника - всегда. И в свою СК п прямому возмещению убытков - если в ДТП два ТС, нет пострадавших и у обоих участников есть ОСАГО. И не важно для потерпевшего, был ли виновник трехв или нет. При наличии у виновника ОСАГО его СК или СК потерпевшего по ПВУ обязаны возместить ущерб в пределах страхового лимита в 120 тыс. А если виновник был пьян, то уже потом СК предъявит виновнику требования возместить все свои затраты по регрессу (Правила ОСАГО, п. 76 б) ).
На независимую экспертизу Вас обязана направить СК, в которую Вы обратитесь - в течение 5 дней с даты подачи заявления. Как правило, сначала потерпевший платит за НЭ, но эту сумму ему возвращает СК вместе с выплатой ущерба. Если за 5 дней на НЭ не направили, то потерпевший вправе провести свою НЭ. и ее результаты СК обязана будет принять для расчета ущерба. Ну и оплатить, как выше говорилось.
Судиться с виновником Вам бесполезно - при наличии действующего на момент ДТП ОСАГО он ненадлежащий ответчик.

Можно и в свою страховую. Независимая за твой счет, но потом ее стоимость в иск включишь. Почитай, здесь тьма таких примеров

в свою страховую обращайся, они будут сами судиться с компанией виновника и выплатят тебе, но не сразу ( но если у тебя росгосстрах, то йух ты чего получишь)