Автолюбители подскажите, что делать в такой ситуации.

что вскроется?
если машина переоформлена то это уже не ваши проблемы.
деньги вам вернули.

напиши дкп на мамашу и пусть делает что хочет

Что значит поменяла номера? Цифры и буквы остались те же, только сами таблички новые? Вам правильно ответили - это делается не в гибдд. Криминала никакого нет.
Подписывайте ДКП с мамой молодого человека. Она может на себя машину и не переоформлять. Если через 10 дней машину никто другой не купит, снимешь с учёта в связи с продажей (надо зайти в гаи с гражданским паспортом и договором продажи, всё займёт 2 минуты). На тебе машина уже не будет числится. А дальше мама молодого человека продаст кому-то машину, составив ещё один ДКП между собой и новым покупателем.
Автомобиль можно переоформлять по нескольким договорам. Ты в ПТС распишись, а сколько дальше будет покупателей - не важно, хоть 10 штук. При регистрации вся куча договоров сдаётся в гибдд.

Что вскроется? Мама как-то поменяла номера, а Вы где, на Луне были и безучастно на это смотрели? Пошли в банк, мама оплатила в Вашем присутствии кредит с Вашего позволения, при этом могла на себя оформить машину, но не захотела и у Вас не повернулся язык спросить к чему это делается? Откройте в конце концов рот и поговорите с этой мамой, у Вас с ней скорей всего имеется какая-то между собой договорённость.

Все операции с кредитным авто, с невыплаченной суммой кредита, производится под контролем кредитной организации, в данном случае банка. С которым у вас заключён договор и без вашего участия этот договор так просто не расторгнуть. Если всё так как вы описываете, идите в полицию, тут явно признаки мошеннических действий.

Не пойму каким образом мать выкупила машину, погасив кредит. Если она просто деньги за тебя вносила, или тебе лично давала, на погашение кредита, то это не значит, что машину она выкупила.
Номера поменять мог только ты (собственник)
Иди в ментовку, и пиши заявление на угон, да и всё) Машина вещь опасная. Может они завтра собьют на ней кого, тоже будешь разгребать.
И налог и штрафы будешь платить. Звони и шли её нахер. Скажи, что если не переоформит, то пусть возвращает тебе ТВОЁ корыто, а если будет вякать, пригрози заявлением на угон

Вы то автор ничего противозаконного не сделали. Если продаст без вашего разрешения, то пишите заявление. Либо составьте договор купли - продажи. И шуруйте в гаи, что бы снять с учета.

Сложно сказать как она это сделала, может уже поставила на учет давно автомобиль.
Нужно больше вводных данных: как передавали ей автомобиль, какие документы вместе с автомобилем передали ей? Выплатив кредит банку вернули ли вам ПТС?