Есть связь вакуумника с топливной системой?

Да вакум связан в впускным коллектором. Проверить в нём ли дело легко - нужно просто пережать шланг идущий от вакума на колектор и проехать. Только будь осторожен тормоза не такие эфективные но для проверки пойдёт. Раньше машины (легковые) без вакумов ездили. Можно просто при глушении двигателя послушать - если диафрагма вакума пробита будет слышно шипение (при полной остановке движка) но если не когда не сталкивался лучше и точнее первый способ. И ещё при заглушенном двигателе вакум должен сохраняться и хватать на 2-3 нажатия педали. Если сразу как заглушиш педаль становиться твёрдой то точно вакуммник.

Вакуумник разрежение для работы берет от впускного коллектора через резиновый (дюритовый) шланг, стоит проверить его, при нажатии на педаль тормоза при заведенном двигателе, должно прозвучать слабое шипение, "вздох" вакуумника.

Полагаю что мастер имел в виду вакуумное опережение зажигания. стоит копейки

Обычно ваккумник связан с одним из цилиндров, подсос в ваккумнике будет отражаться на работе этого цилиндра, поэтому могут наблюдаться провалы.

Да, может подсасывать воздух через усилитель.
Проверить просто - отключить вакуумный шланг (от усилителя к коллектору, заглушить его. и посмотреть на реакцию двигателя.).. .
.При поездке осторожно!! ! педаль тормоза будет жесткой!!!!

проверь на заброшенной дороге, как тут написали. но лучше карбюраторщика поменяй если вакуум сосет значит он не работает. там слышен подсос воздуха на слух и педаль становится твердой. Возможная причина у тебя, нижняя часть карбюратора (привалочная плоскость) стала домиком (изогнулась) . осмотри внимательно карб. в месте где он прикручивается к мотору, если плоскость не прямая то значит оно. при заведенном двигателе полей туда воды ну и так далее. а шланги поменяй

Если вакуумник подсасывает-мотор работает неустойчиво а при нажатии на педаль тормоза обороты меняются. повалы могут быть по вине карбюратора или зажигания. если на холостых оборотах мотор работает устойчиво советую сменить мастера.

Раз в сервисе сказали менять значит надо менять, вам полагаю сказали менять вакумник трамблёра. он стоит копейки. С тормозными шлангами и вакумником вообще лучше не рисковать

если вакуумник и накрылся у тебя педаль тормоза постепенно проваливалась а не стояла в нажатом состояние. есть только одна связь мотора и вакуумником только в том что мотор создает вакуум. если шланги не бегут и на вид не порепанные то не стоит.