АКБ заряжается только до 12.06 вольт.

Падение вольтажа ниже 10 - это уже критично, а 5.6 в такой долгий период это наверно уже смерть ...Если пластинки не осыпались, можно попробовать оживить . Но для начала нужен ареометр, чтобы понять вообще что-то .

Проверь свой тестер может врать безбожно

Проверяйте напряжение по банкам (или плотность электролита в банках). Похоже, что одна банка замкнула, это обычное дело после глубокого разряда.

"Ток на батарее был 5.76 вольта. ", ток измеряется в амперах, проверьте батарею нагрузочной вилкой, если не крутит стартер заряженная то сдохла скорее всего

Меняй на новый, за старый 500р дадут.

Это значит, что АКБ не работоспособна. После полного цикла заряда, напряжение на клеммах должно быть не менее 12.7 вольт. Ниже, батарею на замену.
Таблица для контроля

А может быть, глубокий разряд аккумулятора, пора задуматься о его замене .

Тов измеряется в Амперах а не в Вольтах. 5.6 В когда снял - этоьглубокий разряд. Начался процесс сульфатации пластин и полной ёмкости уже от него не жди. По зарядке - нормальное зарядное устройство умеет стабилизированный ток выдавать без стабилизации напряжения с "потолком" в 18В. Глубокий разряд можно реанимировать зарядом малым током в 1-2А, но Вольтаж при этом может достигать и 18В - это нормально. Время заряда это его заводская ёмкость например 60Ач/ток заряда т. е. на 1 А и получится что такой аккумулятор надо реанимировать 60 часов. Если током в 2А то - 30 часов и т. д. Но нельзя давать греться электролиту выше температуры руки т. е. как почуешь сто АКБ становится горячим - снижай ток до 1А. По поводу доливки дистилированной воды - это была твоя ошибка. Уровень нужно подгонять только после 100% зарядки АКБ. И возможно тебе не воды а кислоты или электролита надо будет добавлять.

не парься ездий пока работает.

Засульфатировался, пока стоял разряженный.