возможно ли соление грибов в банках со стерилизацией и закаткой?(на лоджии плохо хранятся)

Ну процесс приготовления будет долгий: сначала дожидаетесь, когда грибы заквасятся, а это несколько недель, ну а потом сливаете рассол, кипятите, заливаете, стерелизуете, закатываете.
Ну примерно так же стерелизуют и закатывают соленые огурцы.
Собственно есть и быстрые рецепты. Правда грибы будут не соленые, а маринованные. Грибы варят, потом делают маринад. Заливают горячим маринадом, стерелизуют и закатывают.
Ну а у меря соленые грибы практически год стояли в холодильнике. (на полке, где +10оС) Ну правда иногда плесенью покрывалиь. Ну плесень легко удаляется и грибы стоят дальше. И если у вас на лоджии плохо хранятся, значит или лоджия слишком теплая или в соленых грибах соли маловато.

Это уже будут маринованные грибы.

Соленые грибы должны дышать, иначе они образуют вредные газы, под закатку делают маринованные грибы

Следует иметь в виду, что в домашних условиях при заготовке грибов впрок (соление, маринование, квашение и т. п. ) нужно неукоснительно выполнять правило - НЕ ЗАКРЫВАТЬ ГРИБЫ ГЕРМЕТИЧЕСКИ. В посуду с грибами обязательно должен быть доступ воздуха, иначе они могут стать причиной тяжелейшего заболевания - ботулизма, которое, по медицинской статистике, в 60% случаев приводит к смертельному исходу.

не соление, а маринование

отвариваю грибы, воду сливаю, снова кипятком залить и проварить, воду снова слить, грибы пересыпать солью, добавить чеснок, в стерилизованные (прогретые) банки положить по 3-4- горошины перца душистого и черного, лавровый лист по желанию, сверху грибы плотно, чтобы оставшийся сок с солью покрывал все грибы, закатать и готово!

Белые, лисички лучше отваривать и затем варить в растительном масле до его прозрачности. Затем раскладывать в прогретые банки с завинчивающимися крышками. ХРАНЯТСЯ ВЕЛИКОЛЕПНО. сОРТИРУЕМ ДЛЯ ВАРКИ РАЗДЕЛЬНО КОНЕЧНО И ПОСЛЕДУЮЩЕГО ЗАКАТЫВАНИЯ.