Сыну поставили диагноз острый ринит и попросили забрать из садика и лечиться, а как лечить этот ринит? Кашля нет.

греть ноги в теплой воде с сухой горчицей
закапывать капли в нос

Это Вам нужно к врачу. К педиатру или к лору. Там опишете ситуацию, и что решит врач. Если температуры нет, вряд ли Вам дадут больничный, я так думаю. Так что принесите им справку от врача, что ребенок здоров. Либо, если врач посчитает его больным, то лечите насморк различными средствами, в т. ч. народными. Вот, говорят каланхое хорошо помогает.

когда ставят диагноз, то назначают лечение. Вот в соответствие с назначениями и лечите. Если это диагноз поставила медсестра из сада, то нужно сходить в поликлинику к врачу и получить рекомендации у него.
первый раз слышу, чтобы с ринитом отправляли из сада домой

что значит "не поддаются лечению"?
идите к лору - ему всё поддастся.
тем более, что там может быть уже и запущенный гайморит, например, и вообще пойдет осложнение на уши

Хорошо помогает изофра - брызгайте в пустой нос 5-6 раз в день. Можно деринат покапать дял повышения имуунитета. Конечно, много горячего питья и одеться потеплее.

Ринит - это симптом. Это не диагноз. Ринит - это насморк.
Видимо, у вас в саду такие правила. Сопли - домой.
Никак не лечить. Поить, проветривать, побольше гулять.

К аллергологу сходить.

Если сопли текут и не поддаются лечению, то это не просто орз, это что-то другое.
Единственное, что я могу вам посоветовать - идти к ЛОРу, описать ситуацию, попросить его (если сам не догадается) , взять мазок из носа на бакпосев. Возможно, что завелась там какая-нибудь бяка вот и текут сопли, которые обычным путём не вылечешь. В общем, если сами справиться не можете, то только хороший врач вам в помощь.