3-летний ребёнок убегает от мамы на улице, далеко. Делает это специально, утверждая что он большой, сильный. . и т. д.

своему пообещала купить поводок) но больше подействовали достанные из шкафа обувки на каблуках и красивые сумки.. -мама, когда ты это будешь носить? -когда за тобой бегать не придется.. - мама, я не буду от тебя убегать...

Если специально, значит ищите проблему в семье.
Просто так ребенок этого делать не будет, значит пытается кому то и что то доказать, в том числе и себе.

спрятаться. и понаблюдать (в безопасном месте).

скажите ему что большой и сильный должен охранять маму, а то маме одной страшно

Ремнем по жопе

Это кризис 3-х лет. Ремень не поможет, да и неужто будете избивать маленького ребенка ремнем? он от этого только утратит к вам доверие и станет либо забитым либо озлобленным. Поводок для 3-хлетнего ребенка - вообще тупая идея, ещё бы намордник посоветовали! Водите за руку, и отпускайте там, где бегать безопасно. И не спускайте с него глаз. Попутно - уже дома -"капайте на мозги", что убегать нельзя, опасно. можно истории рассказывать, как то-то убежал от мамы и потерялся, Скажите, что "большие и сильные" заботятся о маме, а не заставляют её огорчаться.

Я отучила ведя ребенка обратно за ухо. Не могла я ей позволить убегать от меня с коляской, в которой младший спал. Двух раз хватило.

отдать с спортивную школу

Никак! -Хочет погулять-пусть гуляет!

Можешь купить поводок и ходи с ребёнком и можешь сказать если ты будешь убегать мы гулять не пойдём