Должна ли мама спрашивать разрешения у папы - в отношении ребенка- совместные поездки, прогулки? А папа у мамы?

Надо заранее обсуждать такие вещи. Ну а если им самим не хватает мозгов что бы скоординировать свои планы, тогда им следует заключить договор в котором будет прописано кто и что должен делать и как координировать свои действия.

Надо заранее.
Иначе это не семья.

Не разрешения, а ставить в известность, это нормально - обсуждать. Мой муж звонит и спрашивает: у вас нет никаких планов на выходные, я тут билеты присматриваю...
Насчет гостей вообще не вижу проблемы: пусть мама едет, с сыном потусует, надеюсь, у вас в семье ваше отсутствие с ребенком во время ее приезда не воспринимается как личное оскорбление... да гостевые планы вообще меняется элементарно, даже если это и так...)

мы не спрашиваем разрешения друг у друга по таким вопросам -обсуждаем вместе. Обычно все движухи планирую я - так то муж просто учитывает, что какие то планов уже наверное есть -решаем, что важнее и все. Никаких споров это у нас не вызывает

Не разрешения спрашивать, а обсуждать. Это нормально для семьи.

Не разрешения спрашивать, а предупреждать и договариться

А как папа может кого-то пригласить, не поставив в известность жену?! Жена вправе указать на дверь свекрови, если та приперлась в единственный выходной. Обычно, нормальные люди, договариваются.

Странные отношения. Или родители живут не вместе? Т. к планы на выходные обычно обсуждаются.

они разведенные, что ли?
ничем другим не могу объяснить отсутствие элементарного общения между родителями.
советоваться друг с другом все-таки не мешало бы.

В первую очередь нужно спросить у ребенка.