Возможно ли получить больничный лист ПАПЕ по уходу за ребёнком, если мама заболела?

Вы не указали возраст малыша и находится ли мама в отпуске по уходу за ребёнком. Если мама официально находится в отпуске по уходу за ребёнком, то больничный никому из членов семьи педиатр выдать не может - не положено. Мама должна прервать свой отпуск, написав заявление о выходе на работу, потом взять больничный, тогда папа (или другой член семьи) может уйти в отпуск по уходу за ребёнком. Как видите - это долго и муторно, проще папе взять несколько дней за свой счёт или в счёт отпуска или позвать на помощь бабушек, родню, либо нанять няню на время болезни матери.
Приказ МЗ от 29 июня 2011 г. № 624н г. Москва "Об утверждении Порядка выдачи листков нетрудоспособности"
"Листок нетрудоспособности не выдается при необходимости осуществления ухода:
за ребенком старше 15 лет при лечении в стационаре;
при лечении хронических заболеваний в состоянии ремиссии;
в периоды отпусков, предоставляемых в соответствии с Трудовым кодексом (ТК) РФ:
ежегодного оплачиваемого отпуска;
отпуска без сохранения зарплаты;
декретного отпуска по беременности и родам;
отпуска по уходу за ребенком до 3 лет (за исключением ситуаций, связанных с выполнением застрахованным лицом работы на условиях неполной занятости или на дому).
В последних случаях из приведенного перечня, связанных с совпадением периода временной нетрудоспособности с предоставлением отпусков, больничный может быть выдан только начиная с того дня, с которого мать (отец, другой родственник или лицо, осуществляющее уход за ребенком) должна была приступить к выполнению своих рабочих обязанностей по постоянному месту работы."
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_116333/7bb10feea06c8d2751bdc2b92ac5c235d0fb315f/

Если ребёнок здоров, больничный никто не даст

Участковый врач выписывает больничный лист по уходу за ребенком одному из членов семьи - маме, папе, бабушке, дедушке .

Любой из родителей может получить такой больничный.

Нельзя.

можно.

Ну, что Вы тут зависли? Оформляйте второй больничный, где будет вторая работа. Несите в организацию, бухгалтер сама оплатит Вам, как совместителю. И глаза раскроет заодно, что у Вас что-то не то с оформлением законно на полный рабочий день в двух организациях. Переоформят и всё. А совместителю положена оплата и больничный продублируют. Всё по закону.