Александр Соловьёв, потомок репрессированных москвичей, родился 19 августа 1952 года в семье учителей в Дагестане, в посёлке главный Сулак города Махачкала. В дальнейшем его семья переехала в Норильск.
После школы уехал в Москву и поступил в ГИТИС. Учился у Андрея Гончарова, на одном курсе с Игорем Костолевским и Александром Фатюшиным.
После окончания ГИТИСа в 1973 году по приглашению Гончарова Соловьёв начал работать в Театре имени Маяковского. Через год он ушёл в Центральный детский театр и работал там до 1986 года.
Соловьёв, помимо работы в театре, много снимался. Озвучил несколько мультфильмов. Фильмы «Адам женится на Еве», «Зелёный фургон», «Ребёнок к ноябрю», «По данным уголовного розыска», «Дамы приглашают кавалеров» и другие киноленты принесли ему известность. [источник не указан 289 дней]
По мнению режиссёра Владимира Мотыля, из актёров советского кино, быть абсолютно независимым в актёрской профессии удавалось только троим: Высоцкому, Далю и Соловьёву [1].
С 1989 года стал актёром Театра «Одеон» под руководством Е. В. Радомысленского.
В 1991 году единственный раз попробовал себя в режиссуре, поставив трагикомедию «По Таганке ходят танки». В этом фильме выступил и как актёр.
Последняя съёмка — клип Ксении Георгиади (1998)
