Банк при переговорах о предоставлении кредита настаивает на подписании Соглашения о внесудебном...

Уважаемый Василий! Действительно, такое соглашение вполне законно. Заключать его или не заключать - это право, а не обязанность. Подробности о порядке обращения взыскания на заложенное имущество можно прочитать в статье 349 ГК РФ. Там же найдёте и те условия, при которых взыскание можно производить только по решению суда.

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН
ОБ ИПОТЕКЕ (ЗАЛОГЕ НЕДВИЖИМОСТИ)
Статья 55. Обращение взыскания на заложенное имущество во внесудебном порядке
1. Удовлетворение требований залогодержателя за счет имущества, заложенного по договору об ипотеке, без обращения в суд (во внесудебном порядке) допускается на основании соглашения между залогодержателем и залогодателем, которое может быть включено в договор об ипотеке или заключено в виде отдельного договора. Соглашение заключается при условии наличия нотариально удостоверенного согласия залогодателя на внесудебный порядок обращения взыскания на заложенное имущество. Такое согласие может быть дано до заключения договора об ипотеке.
2. Удовлетворение требований залогодержателя в порядке, предусмотренном пунктом 1 настоящей статьи, не допускается, если:
5) предметом ипотеки являются жилые помещения, принадлежащие на праве собственности физическим лицам;
6) предметом ипотеки является имущество, находящееся в государственной или муниципальной собственности.
В указанных случаях взыскание на заложенное имущество обращается по решению суда.
Что такое ненадлежащее исполнение - нигде не прописано. Надо оговорить в договоре, в каких случаях (срок просрочки, размер) банк имеет право обращать взыскание на имущество

Прежде чем подписывать такого рода договор, внимательно ознакомьтесь со статьей 349 Гражданского кодекса РФ (там указано, в каких случаях это возможно).

По-моему это незаконно. По закону - только через суд.

Ненадлежащим исполнением банк может счесть как ЛЮБУЮ просрочку платежа, так и внесение месячного платежа в не полной сумме. Это также может быть неисполнение обязанности по страхованию предмета залога, непредоставление (или предоставление не вовремя) юридически значимой информации о заёмщике или залогодателе (например, изменение адреса места жительства, брак или развод, преремена места работы) и т. д.
Вариантов ещё может быть масса, в зависимости от содержания договора.