на каком основании общественные организации могут проводить проверки?

Только в этих рамках.. .
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН 19 мая 1995 года N 82-ФЗ
ОБ ОБЩЕСТВЕННЫХ ОБЪЕДИНЕНИЯХ
Глава III. ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ ОБЩЕСТВЕННОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
Статья 27. Права общественного объединения
Для осуществления уставных целей общественное объединение, являющееся юридическим лицом, имеет право:
(в ред. Федерального закона от 25.07.2002 N 112-ФЗ)
свободно распространять информацию о своей деятельности;
участвовать в выработке решений органов государственной власти и органов местного самоуправления в порядке и объеме, предусмотренными настоящим Федеральным законом и другими законами;
проводить собрания, митинги, демонстрации, шествия и пикетирование;
учреждать средства массовой информации и осуществлять издательскую деятельность;
представлять и защищать свои права, законные интересы своих членов и участников, а также других граждан в органах государственной власти, органах местного самоуправления и общественных объединениях;
осуществлять в полном объеме полномочия, предусмотренные законами об общественных объединениях;
выступать с инициативами по различным вопросам общественной жизни, вносить предложения в органы государственной власти;
участвовать в выборах и референдумах в порядке, установленном законодательством Российской Федерации.
(в ред. Федерального закона от 12.03.2002 N 26-ФЗ)
абзац исключен. - Федеральный закон от 12.03.2002 N 26-ФЗ.
Для осуществления уставных целей общественное объединение, не являющееся юридическим лицом, имеет право:
свободно распространять информацию о своей деятельности;
проводить собрания, митинги и демонстрации, шествия и пикетирование;
представлять и защищать свои права, законные интересы своих членов и участников в органах государственной власти, органах местного самоуправления и общественных объединениях;
осуществлять иные полномочия в случаях прямого указания на эти полномочия в федеральных законах об отдельных видах общественных объединений;
выступать с инициативами по вопросам, имеющим отношение к реализации своих уставных целей, вносить предложения в органы государственной власти и органы местного самоуправления.
(часть вторая введена Федеральным законом от 25.07.2002 N 112-ФЗ)
Осуществление указанных прав общественными объединениями, созданными иностранными гражданами и лицами без гражданства либо с их участием, может быть ограничено федеральными законами или международными договорами Российской Федерации.
Законами об общественных объединениях могут быть предусмотрены дополнительные права для конкретных видов общественных объединений.

А хотя бы на этом:
п. 2 ст. 45 Закона "О защите прав потребителей":
проверять соблюдение прав потребителей и правил торгового, бытового и иных видов обслуживания потребителей, составлять акты о выявленных нарушениях прав потребителей и направлять указанные акты для рассмотрения в уполномоченные органы государственной власти, а также информировать органы местного самоуправления о выявленных нарушениях, участвовать по просьбе потребителей в проведении экспертиз по фактам нарушения прав потребителей.

Общественные организации не имеют права проведения самовольных проверок. Это прерогатива государственных органов.

Проверки чего ?