должен ли лечащий врач заверять доверенность?

Если есть подпись и печать ГЛАВНОГО ВРАЧА мед. учреждения, то Доверенность действительна! А работникам в банке объясните, что им нужно знать не только финансовое и банковское право, но и право гражданское!

Так главврач и должен заверять такую доверенность

См. ст 185 ГК РФ
....К нотариально удостоверенным доверенностям приравниваются:
1) доверенности военнослужащих и других лиц, находящихся на излечении в госпиталях, санаториях и других военно-лечебных учреждениях, удостоверенные начальником такого учреждения, его заместителем по медицинской части, старшим или дежурным врачом;
2) доверенности военнослужащих, а в пунктах дислокации воинских частей, соединений, учреждений и военно-учебных заведений, где нет нотариальных контор и других органов, совершающих нотариальные действия, также доверенности рабочих и служащих, членов их семей и членов семей военнослужащих, удостоверенные командиром (начальником) этих части, соединения, учреждения или заведения;
3) доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверенные начальником соответствующего места лишения свободы;
4) доверенности совершеннолетних дееспособных граждан, находящихся в учреждениях социальной защиты населения, удостоверенные администрацией этого учреждения или руководителем (его заместителем) соответствующего органа социальной защиты населения.
4. Доверенность на получение заработной платы и иных платежей, связанных с трудовыми отношениями, на получение вознаграждения авторов и изобретателей, пенсий, пособий и стипендий, вкладов граждан в банках и на получение корреспонденции, в том числе денежной и посылочной, может быть удостоверена также организацией, в которой доверитель работает или учится, жилищно-эксплуатационной организацией по месту его жительства и администрацией стационарного лечебного учреждения, в котором он находится на излечении.
Доверенность на получение представителем гражданина его вклада в банке, денежных средств с его банковского счета, адресованной ему корреспонденции в организациях связи, а также на совершение от имени гражданина иных сделок, указанных в абзаце первом настоящего пункта, может быть удостоверена соответствующими банком или организацией связи. Такая доверенность удостоверяется бесплатно.

Подписывать и должен был главврач.

Лечащий - нет, а главный врач должен заверить.

Доверенность действительна, только нужно проверять ФИО главного врача и личную печать.