Мне сказали, что судебную доверенность, выданную матерью от лица детей нужно заверять в Опеке. Это верно?

Нет, такого требования ГПК РФ не содержит. Вас ввели в заблуждение-

Статья 52. Законные представители

1. Права, свободы и законные интересы недееспособных или не обладающих полной дееспособностью граждан защищают в суде их родители, усыновители, опекуны, попечители или иные лица, которым это право предоставлено федеральным законом.

2. По делу, в котором должен участвовать гражданин, признанный в установленном порядке безвестно отсутствующим, в качестве его представителя выступает лицо, которому передано в доверительное управление имущество безвестно отсутствующего.

3. Законные представители совершают от имени представляемых ими лиц все процессуальные действия, право совершения которых принадлежит представляемым, с ограничениями, предусмотренными законом.

Законные представители могут поручить ведение дела в суде другому лицу, избранному ими в качестве представителя.

Статья 53. Оформление полномочий представителя

1. Полномочия представителя должны быть выражены в доверенности, выданной и оформленной в соответствии с законом.

2. Доверенности, выдаваемые гражданами, могут быть удостоверены в нотариальном порядке либо организацией, в которой работает или учится доверитель, товариществом собственников жилья, жилищным, жилищно-строительным или иным специализированным потребительским кооперативом, осуществляющим управление многоквартирным домом, управляющей организацией по месту жительства доверителя, администрацией учреждения социальной защиты населения, в котором находится доверитель, а также стационарного лечебного учреждения, в котором доверитель находится на излечении, командиром (начальником) соответствующих воинских части, соединения, учреждения, военно-учебного заведения, если доверенности выдаются военнослужащими, работниками этих части, соединения, учреждения, военно-учебного заведения или членами их семей. Доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверяются начальником соответствующего места лишения свободы.

(в ред. Федерального закона от 18.10.2007 N 230-ФЗ)

3. Доверенность от имени организации выдается за подписью ее руководителя или иного уполномоченного на это ее учредительными документами лица, скрепленной печатью этой организации.

4. Законные представители предъявляют суду документы, удостоверяющие их статус и полномочия.

5. Право адвоката на выступление в суде в качестве представителя удостоверяется ордером, выданным соответствующим адвокатским образованием.

6. Полномочия представителя могут быть определены также в устном заявлении, занесенном в протокол судебного заседания, или письменном заявлении доверителя в суде.

Да, для соблюдения интересов детей.