Старушка умерла, в наследство вступили, документы не переоформили, в паспорте старушки и св. о рожд. разные буквы в имени...

В первую очередь сходите в отдел ЗАГС. С собой - свидетельство о рождении, браке/разводе, о смерти бабушки. ЗАГС запросит копии актовых записей, и на основании того, какое имя у бабушки в актовой записи о рождении, внесет изменения в последущие актовые записи ( о браке/разводе, о смерти) . То есть, везде бабушка будет значиться по д тем именем, с которым она родилась.
Если какие-то правоустанавливающие документы ( св-во о собств-сти, договор приватиз. ации и т. д. ) оформлены по паспорту, где у бабушки было другое имя - дальше пойдете в суд с заявлением об установлении юридического факта принадлежности правоуст. документов. Образец, например, такой:
http://www.legal-spb.ru/dokumenty/iski/zayavlenie-v-sud-ob-ustanovlenii-fakta-prinadlezhnosti-pravoustanavlivayushhego-dokumenty-obrazec/
В любом случае - начинайте с похода в ЗАГС. Это, во-первых, бесплатно, во-вторых - вам там все объяснят подробно применительно к вашей ситуации. Тем более, таких ошибок по жизни встречается очень много.

Это такая мутота. Моя тетя несколько месяцев подобным занималась, все через суды. Еле успела вступить в наследство.

суд мигом такие проблемы решит

И что?

Да, сыну нужно будет в суде доказать, что паспорт и свидетельство о рождении были выданы одному и тому же человеку

Упс, облом..

Вам нужно будет доказать, что, допустим, к примеру, Алена и Елена, это один и тот же человек, одна и та же женщина. Как это делается, консультируйтесь у юриста.