помогите с довереностью нужна ли при выезде за границу доверенность на ребёнка полных 13 лет

С кем едет ребенок? Если с один из родителей, то доверенность не нужна. Если без родителей, то она нужна, даже если ему будет 17 лет и 11 месяцев.

(1) Следует различать выезд из РФ и въезд в другие страны. Выезд из РФ и въезд в другую страну физических лиц контролирует пограничная служба (а не таможенники, как часто почему то пишут – таможенники контролируют только перемещение вещей). Погранконтроль осуществляется Погранслужбой РФ на выезде из РФ и на въезде в РФ. Обычно после выезда из РФ следует въезд в другую страну, где действует погранконтроль этой страны.

(2) Для выезда из РФ ребенка с одним из родителей разрешение на выезд от второго родителя [b]НЕ НУЖНО [/b]. Об этом говорит Федеральный закон «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» ст. 20-21

(3) Въезд в другую страну
Часто при въезде в другие страны действует правило действия законов страны гражданства, например, как сказано на сайте посольства Украины
«..в части, касающейся условий выезда несовершеннолетних граждан за границу, необходимо руководствоваться законодательством государства выезда».
Т. е. при пересечении границы гражданами РФ пограничники Украины обязаны руководствоваться законодательством РФ (п. 2), а при пересечении границы гражданами Украины – законодательством Украины (по нему, кстати, разрешение второго родителя требуется).
[b]Для въезда же в некоторые страны такое разрешение может быть нужно, поэтому полезно смотреть каковы требования страны куда въезжаете. Например, на сайте их посольства в РФ, нужно ли им разрешение, в какой форме, на каком языке и пр.. [/b]

если выезд планируется без одного из родителей - нужна

да нужна.