Если я переехала в другой город Могу ли я восстановить свидетельство о рождении? Которое утеряла.

Можете. Вам в органы ЗАГС по новому месту жительства. Они сделают запрос по месту вашего рождения. Когда свидетельство придет, заплатите пошлину и вам его выдадут.

можете... через ЗАГС, который выдавал оригинал... письмом...

Ст. 9 № 143 ФЗ от 15.11.1997 г. «Об актах гражданского состояния РФ» (далее по тексту – Закон) предусматривает возможность выдачи повторного свидетельства о рождении в следующих случаях:

утрата;
порча;
иные причины невозможности использования (ветхость, ламинирование, нечитаемость текста и пр.).

Если обращение в отдел ЗАГС по месту регистрации ребенка затруднительно или вовсе невозможно в силу различных обстоятельств, вопрос о том, как восстановить свидетельство о рождении, тоже не остается без ответа. В таком случае можно воспользоваться одним из способов, предусмотренных ст. 9 Закона:

Составить и отправить заявление о выдаче повторного свидетельства о рождении в отдел ЗАГС, выдавший первичное свидетельство, самостоятельно по почте заказным письмом с уведомлением о доставке и получении. Получить повторное свидетельство можно будет в отделе ЗАГС по месту жительства.
Направить заявление и сопутствующие документы в электронном виде, воспользовавшись Единым порталом государственных и муниципальных услуг или официальным сайтом администрации субъекта России по месту регистрации рождения ребенка (оригиналы прилагаемых документов в этом случае необходимо будет представить при получении повторного свидетельства).
Обратиться с аналогичным заявлением в отдел ЗАГС по месту жительства.

Источник: http://sovetnik.consultant.ru/svidetelstvo_o_rozhdenii/kak_i_gde_vosstanovit_svidetelstvo_o_rozhdenii_rebenka/