Ожидаемое наследство

по законодательству тех лет /имею силу и сейчас/ - основной документ определяющий собственника есть реестр членов жилищного кооператива с указанием внесенных платежей, после внесения последнего платежа, по законам того времени, ваша тетя становилась собственником, каковой и считается в настоящее время.. .
то есть никаких переригестрационных действий совершать до смертиеё не требуется, после смери, раз есть завещание, то правообладателем /выгодоприобретателем, наследником позавещанию/ станет лицо указанное тетей и не трогайте документы иначе можете попасть под спор о вменяемости совершения последних дествий завещателя...

Нужно регистрировать. Иначе труба.

Главный документ на квартиру - это справка о выплаченном пае на имя Вашей тети. Если она есть, то беспокоиться Вам нечего.

Право собственности на квартиру у члена ЖСК возникает с МОМЕНТА ВЫПЛАТЫ ЗА НЕЕ ПАЯ, независимо от государственной регистрации права собственности!

Нет, не спрашивают. Тете желательно зарегистрировать свою квартиру, Вам потом меньше хлопот будет.

нужна регистрация в реестре, сходите в юстицию.

Я думаю что надо вернуться к началу, а именно возникновению у нее права собственности. 1 в соответствии со статьёй 218 ГК РФ
1. Право собственности на новую вещь, изготовленную или созданную лицом для себя с соблюдением закона и иных правовых актов, приобретается этим лицом.
4. Член жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, другие лица, имеющие право на паенакопления, полностью внесшие свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное этим лицам кооперативом, приобретают право собственности на указанное имущество.

При оформлении наследства нотариусы обычно спрашивают правоустанавливающие документы на объекты недвижимого имущества, но если их нет, то нотариус обычно дает отказ и в завещание имущество документы на которые не представлены не вписывает.
Таким образом Вашей тете необходимо помимо квитанции иметь справку о том, что паевой взнос за квартиру ею выплачен полностью.
Ранее до ФРС существовали органы БТИ, которые на основании сведений кооперативных домов записывали, то есть фактически регистрировали собственников квартир и Вы можете там получить данный документ. На основании этого документа после смерти тети можете обратиться в суд и включить квартиру в состав наследственной массы.
Что же касается УФРС то прошу Вас не забывать, что если они заметят, что у Вашей тети проблемы со здоровьем в части психики они могут от Вас потребовать справку из психдиспансера о ее состоянии и отказать ей в принятии документов.

должен быть документ из ЖСК о выплаченном пае на квартиру. Зарегистрировать в палате нужно, так как по закону право возникает только после регистрации. При удостоверении завещания нотариус документы на имущество проверять не обязан.