Должны ли в компюьтере работать все кулеры? как опасно если один из 3-х не работает?

Во первых, вы не совсем понимаете слово "кулер", кулер может быть и без вентилятора - это просто радиатор, соответственно на корпусе его не может быть. то что вы называете кулером, это вентилятор.
во вторых, я не понял вашу фразу "на крышке процессора изнутри и еще один в самом процессоре вот тот что внутри не работает" где у проца крышка? и каким образом вы засунули кулер в проц? то что вы называете процессором - это системный блок, или корпус.
Работать то можно хоть вообще без вентиляторов, если будет перегреватся комп, он сам выключится. Если вы конечно не меняли настройки БИОСа.
А почему гудит, так это просто нужно смазать подшипники вентиляторов. скорей всего один из них из за этого и загнулся.

Можно вообще все кулеры остановить, если загнать в корпус воздух с морозной улицы. Проблема ведь не в работающем или остановленном вентиляторе, а в температуре того, что они охлаждают. Если температура в пределах расчетной (как правило до 70 градусов все работает без проблем. Для процессоров - до 60) то можно все остановить.
Касательно шума.
1) Проверь температуру процессора в Биосе. Если она не выше 50 градусов, зайди в настройки POWER и установи для вентилятора процессора режим Silent (тихий)
2) Желательно установиь сервисную программу для видеокарты (должна быть на диске в комплекте с драйверам) и в ней найти регулировку скорости вентилятора видеокарты - поставить автоматическую.
3) Если немного разбираешся в электрике и руки растут из нужного места, посоветую вентилятор блока питания и корпусной вентилятор соединить последовательно. Их скорость уменьшится в 2 раза.
4) Вентилятор корпуса должен быть максимально большого диаметра (120мм)
6) Вентилятор блока питания желателен максимально большого диаметра (120мм) .
7) жесткий (жесткие диски) привинтить через резиновые втулки (продаются)

Контролировать температуру процессора, видеокарты и северного моста.
Все эти переделки я сделал на мощной машинке. Работает в режиме 24/7 уже 4 года. Полет нормальный.
Практически бесшумно работает.

Внутренний наверно в блоке питания.
Работать будет до поры, до времени-сами подумайте если блок перегреется и сгорит, сколько Вы за новый заплатите?
Уж поверьте жене програмиста - я сколько убитых видях и блоков навидалась.
А гудят явно оставшиеся кулеры-попылесосьте их .

главное чтоб на проце работал и на видюхе иначе пи.... ц

если на корпусе потух то просто нарушиться вентиляция и элементы постепенно будут перегреваться. А если на процессоре или на видео карте остановился- срочно вырубай комп и выясняй причину остановки

Если нет серьезного нагрева железа в корпусе думаю ничего страшного не случится. Опасно если вообще не работает охлаждение процессора.