Видеокарта 8600 GT вышла из строя. Перегрелась, вроде и перестала функционировать. Сгорела? А возможен ли ремонт?

Могут быть 5 причин (по меньшей мере. :-)).
1. Простарела ПАСТА и тепло не отводилось хорошо. Можно попробовать очистить поверхности, положить аккуратно слой новой пасты, приложить радиатор, "поелозить" чуть-чуть, чтобы слой стал равномерным и собрать.
2. Окислились позолоченные контакты. Пройтись по ним "карандашной" резинкой и согнутым суставом указательного пальца смахнуть "крошки" от резинки.
3. Какой-то из электролитических конденсаторов состарился и имеет большую утечку. При типе их, установленном у Вас визуально определить это трудно.
4. САМАЯ "ВРЕДНАЯ" - возымел утечку электролит НА МАТЕРИНКЕ в цепях подходящих к карте. Мне несколько раз встречалось такое.
В таком случае и НОВАЯ КАРТА НЕ БУДЕТ РАБОТАТЬ!
Проверка проста - поставить ЗАВЕДОМО ИСПРАВНУЮ. Если и с ней не оживет, то ищите диверсанта именно на материнке.
5. Карта "жрет" довольно много и блок питания не обеспечивает столько. Попробовать отключить "лишнее" - СД, флопи и т. д.
Если заработает, то утечка в электролите БП. Очень частая причина.

Стоимость ремонта превысит стоимость 2х таких видео карт без обид чистая арифметика.

Починить можно в сервисе: http://service.wna.ru/rus/remont_videokart/
чип менять надо. Только цена будет в 2 раза дороже новой :)

Если она сгорела, ремонт будет очень проблематичен. Проще заменить видеокарту.

По всему - пациент скорее мертв.

ничего невозможного нет, но на практике такие ремонты стоят дороже, чем купить новую

возможен только ремонт стиральных машин, но явно не видеокаррты за 400 рублей