Сколько может проработать процессор без кулера ?

Тут нет однозначного ответа. Но критерии следующие:
1. Какой процессор (модель/производитель и т д). Т. к. у каждого проца есть свой "термолимит"
2. Насколько он загружен (чем больше загруженности тем больше нагрева соответственно).

Есть процессоры которые охлаждаются обычным алюминиевыми "рёбрами" (пассивное охлаждения). Им этого за глаза хватает. Т. к. такого типа процы сильно не нагреешь (производительность не такая уж и большая).

А если это обычный десктопный проц. он у тебя скорей сам вырубится чем ты его сможешь спалить (в процессорах стоит своя термозащита, которая полностью обесточивает его при достяжении N градусов по цельсию).

Это ответ на вопрос :)

А по синему экрану: надо смотреть какой код у этого бсод-а. И уже от него "плясать". Обычно загрузка не грузит проц, она нагружает дисковую систему. Особенно если качаешь какой нибудь распакованный архив с мелкими файлами (привет торрент).
Возможно диск битый, возможно оперативка, а может и проц. Может быть вовсе софт глючит (браузер/ОС/драйвер какой нибудь). Надо анализировать. По твоему описанию трудно дать однозначный ответ

Совет - занизь частоту, чтобы не перегревался. Потом купишь охлаждение получше. А блок питания тут вообще причём?

Через сколько он подохнет??? ну скорее мать выгорет раньше

сколтко угодно
главное что бы не перегрелся
+ лучше виндовс переустановить синий экран это не физичиские проблемы в основном