Можно ли включить встроенное в процессор графическое ядро, если монитор подключен к внешней видеокарте?

Категорически - НЕТ

Ну, включить то можно. В биосе мамки поищи функцию включения сразу двух видеокарт (у меня она обзывается как IGPU Multi-Monitor).

Правда производительность в играх тебя явно не устроит) Так как пахать будет интеграшка в качестве основной)

к какой подключишь монитор - та видеокарта и будет работать. Сам подключал мониторы и к материнке и к дискретной карте.
Но, в данной ситуации никакого смысла заморачиваться конвертерами не вижу. Найди тесты и сравни. На ютубе сейчас чего только и на чем только не запускают.
А, у тебя точно процессор с интегрированным видео? Видеокарты-затычки не просто так ставят.

первый-же вопрос - а ЗАЧЕМ это вообще делать?
"дискретка" обычно значительно ЛУЧШЕ "встройки" - ну и СМЫСЛ тогда к материнке "тыркаться"?

может можно и производительность с видеокарты скорее всего сможет проходить через разъёмы мат платы . а на кой член переходники имея 4 различных выводов? вы бухие? закусывать нужно

еще раз перечитай свой вопрос.. DVI-D...и это не ноут, обе видеокарты одновременно (незнаю как точнее, через один выдеовывод) работать не будут... или как вариант это изврат производителей и скорее всего об этой технологии уже давно бы все знали.. экономия электроэнергии.. хотя фиг знает, технологии то нет:)
стоит просто представить... у тебя видеоядро процессора будет выводить изображение через дискретку, как итог у тебя буду задействованы 2 устройства одно из которых бесполезно..

в теории - можно. на практике - зависит от конкретного железа и хотелок

нет