Может-ли судья Конституционного суда представлять интересы своего сына на предварительном следствии и в суде?

1. Совершеннолетие наступает со следующего дня. то есть, преступление он совершил будучи несовергеннолетним. Осуществлять интересы в качестве кого? Законного представителя - да, так как на момент совершения преступления он был ещё несовершеннолетним.
2. а в чём конфликт интересов? судья КС РФ и его сын, нет здесь рассматривается просто как представитель. влиять "своими силами" отец не имеет права, но зачастую так и происходит.

Может только в суде. На следствии исключительно адвокаты.

Никогда. Здесь конфликт интересов. Родственники подследственных и любых правонарушителей не имеют права быть причастными на любом этапе расследования или непосредственно суда. Тем более, должностное лицо.

У нас сейчас все возможно.
Был случай (там где я живу) , убили парня, а судья был родным дядей подсудимого. Какой вы думаете был приговор? Правильно думаете. Судебная система ужасна, так что вполне возможно такое представительство. Но по закону это заинтересованная сторона, потому судья не может вести дело.

нет здесь никакого конфликта интересов. конфликт интересов был бы в том случае, если бы судья был на стороне обвинения или рассматривал бы это дело.
а в этом случае и судья и сын на стороне зашиты, поэтому конфликта интересов в принципе нет,
и заинтересованной стороной судья тоже не является, так как судья здесь выступает не как "судья", а как законный представитель
я думаю что может судья выступать в качестве защитника своего сына, но лучше посмотрите закон о статусе судей, там прописано что судьи могут делать, а что не могут