Как и когда должна составляться мотивировочная часть решения суда?

Если судебное заседание не было закрыто, то они правы. После резолютивной части приговора, судебное заседание считается закрытым.

в мировом суде - да, по заявлению.... В районном сами должны

ГПК РФ Статья 199. Составление решения суда

1. Решение суда принимается немедленно после разбирательства дела. Резолютивную часть решения суд должен объявить в том же судебном заседании, в котором закончилось разбирательство дела. Объявленная резолютивная часть решения суда должна быть подписана всеми судьями и приобщена к делу.
2. Составление МОТИВИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ СУДА МОЖЕТ БЫТЬ ОТЛОЖЕНО НА СРОК НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ПЯТЬ ДНЕЙ со дня окончания разбирательства дела.
3. Мировой судья может не составлять мотивированное решение суда по рассмотренному им делу.
4. Мировой судья обязан составить мотивированное решение суда по рассмотренному им делу в случае поступления от лиц, участвующих в деле, их представителей заявления о составлении мотивированного решения суда, которое может быть подано:
1) в течение трех дней со дня объявления резолютивной части решения суда, если лица, участвующие в деле, их представители присутствовали в судебном заседании;
2) в течение пятнадцати дней со дня объявления резолютивной части решения суда, если лица, участвующие в деле, их представители не присутствовали в судебном заседании.
5. МИРОВОЙ СУДЬЯ СОСТАВЛЯЕТ МОТИВИРОВАННОЕ РЕШЕНИЕ СУДА В ТЕЧЕНИЕ ПЯТИ ДНЕЙ СО ДНЯ ПОСТУПЛЕНИЯ от лиц, участвующих в деле, их представителей ЗАЯВЛЕНИЯ О СОСТАВЛЕНИИ МОТИВИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ СУДА.

ответы по всем судебным тяжбам найдёте в моём вопросе "Судья - это... "