Какой толщины использовать кабель для проводки?

Любой

2х1,5 - этого хватит для тока до 16 ампер. Что соответствует нагрузке примерно в 3 квт.
(Провод я подразумеваю медный - алюминиевый вообще лучше не брать, такая экономия себе дороже с учётом последующих проблем) .
Из более мощного оборудования, которому нужны провода в 2,5 кв мм, я встречал только проточные водонагреватели. Но для их установки - и автомат на лестнице придётся менять.
Тройной, а тем более четверной провод брать на самом деле ни к чему: в наших сетях, за исключением построенных в последние год-два, всё равно нет "земли", и "заземляющий" провод подключают к корпусу щита вместе с "рабочим нулём" - тянуть его от щита, а не соединить контакты заземления с "нулём" прямо в розетке, реального смысла не имеет (хотя электрики, набивая себе цену, и заявляют обратное!) . Четверной провод вообще выпускается для трехфазной проводки - в квартирах ее не бывает.

Мона удешевить, если заменить на ВВГ. Группы освещения 3*1.5 Розеточные группы 3*2.5мм P.S. Проблемы появляются не из-за кабеля, а от халтурного монтажа проводки.

3х2,5 хватит

Стандарт 3х2.5 мм2 розеточная группа, стиралка отдельным того же сечения (одножильный в одном) , освещение 3х1.5 мм2, при нагрузке не более 1Квт хватит 3х0.7 но лучше не рисковать прокладывай все на свет 3х1.5 мм2 ВВГ, ПВС (в гофре).

Медь- розетки 2,5 -все остальное 1,5

3*2.5 квадрата меди

ПУГНП 3х2.5
в Москве 500 руб за точку берут

Освещение для уменьшения затрат можно оставить как было (да нехай и люментий) , а вот розеточную сеть поменять на медь 2х1,5- спокойно держит 3кВТ. Менять, используя старые штробы, или разводишь по-новому (что дороже, естественно) . Я бы еще порекомендовал на розеточную сеть свой автомат установить, чтоб не накладывать медь на алюминий (окисляется, начинает греться, что может привести к возгоранию) .
По оплате ничего не подскажу-прозвони фирмы в родном городе. .
Удачи!