Посоветуйте как самим покрыть лаком или покрасить новую деревянную лестницу в квартире.

Для совета нужна дополнительная информация.
1.Из какого материала и с каким качеством отделки изготовлена лестница (делали профессионалы или сосед дядя Вася) .
2.Если лестница не вышкурена то с лаком связываться нет смысла. В собранном виде ее не подготовить к лакировке. Тонировать или нет -дело хозяйское, надо только учитывать, что морилка и лак могут быть несовместимы.
Покрывать нужно только паркетным лаком, который наносится валиком .Лак, который наносится краскопультом, валиком или кистью качественно не нанести.
А еще лучше согласиться с Вадимом.

Морилкой сначала проходите, раза три, затем лаком, кисточкой

Пару слоёв лаком НЦ и после него снять ворсу крупной, а потом мелкой наждачкой, а потом уже хорошим лаком пару слоёв.

Деревянные поверхности окрашенные прозрачными лаками через непродолжительное время приобретают цвет естественного дерева. В том случае если желаете придать другой оттенок, можно пропитать морилкой либо красками типа Пинотекса. Потом покрывать лаком.
Надо иметь ввид, у чтобы получить ровный глянец лак должен до момента схатывания равномерно растечься. Т. е быстросохнущие лаки нежелательны.
Можно использовать также обычные паркетные лаки, например на полиуритановой основе. Покраска валиком нежелательна по причине мелких пузырьков. Лучше мягонькой кисточкой. Красить начинайте с участков более высоких. Под рукой должен быть растворитель чтобы убрать ненужные капли. Также надо иметь ввиду что окрашивать лучше при закрытых дверях чтобы не допускать попадания пыли
После первой покраски после высыхания надо убрать поднявшейся ворс мелкой шкуркой. Удачи

Если Вы никогда сами с лаком не работали, то лучше нанять специалистов. Переделывать будет дороже.

Берете лак (краску) , кисть или валик и красите.

в чём проблема, сразу ошкуриваете ( обрабатываете нождачной бумагой) затем берёте кисть и лак и покрываете им в два приёма, можно перед покрытием нанести морилку, лак и морилка продаёться в хоз. товарах.

Рекомендую лак "Marshall". Очень стоек к царапинам (тем более это лестница) и можете мыть лестницу всякими бытовыми химикатами. Лак очень стойкий. Информация тут