Нужно ли стелить гидроизоляцию на фундамент под печкой в бане,

битум - это вяжущее вещество, так что о том что не схватится можете не беспокоиться. В асфальте именно битум является вяжущим.
Нужно ли? не обязательно, но у вас печка будет отсыревать, натягивать из земли влагу, ее трудней растопить как долго по стоит.

Раствор на кирпич нормально ляжет, а её плюс масса самой печки и не куда ничего не денется

Гидроизояция уже есть, однако...
И на неё нужно будет класть кирпич, поднимая цоколь до нужного уровня первого ряда печного кирпича простым, строительным)))
И ещё. Раньше фундаменты печей традиционно развязывали с фундаментом дома, они работают в разных условиях, связка не всегда оправдана (((

Не надо, чтобы схватывался. Будет давить массой, не сдвинуть.

Все схватится. Так и должно быть

А смысл?

Нужно. Всегда сначала кладут гидроизоляцию, чтоб отсечь влагу от самого строения. А влага за счёт капиллярного эффекта будет тянуться из грунта.

У вас же итак есть на ленточном фундаменте гидроизоляция. Всё схватится, кирпич хорошо ляжет. Будет отлично дом стоять.
Единственное что, так это гидроизолировать пол можно, так как всегда есть вероятность, что будет подсос воды из грунта. При заливке пола, можно просто добавить добавку, которая повысит водонепроницаемость и улучшит структуру бетона.
Обычно добавляется 1% от веса цемента, а эффект отличный.

конечно нужно просто не каждая гидроизоляция подойдет я бы вам посоветовал гидроизоляцию наноищол под кирпич она подходит идеально а приобрести ее вы можете на портале https://gkpartner.com/o-nas/