Как восстановить старый деревянный комод?

там у вас пятна от чернил так что придется (морилку делать) лак подбирать чтоб темнее был, шкурить ни обязательно ибо

сначала всё отмыть растворителем от жира и прочего. а потом смотреть

Ошкурить можно.
Отшлифовать можно.
Но степень загрязнения не понятна. Отсюда не видно. Мне даже кажется есть места гниения древесины. Можно отшлифовать ленточной шлифовальной машиной, лентой крупности 80, потом 150. Нажимать на машину не надо, а то можно получить раковины на поверхности. Потом вибрационной машиной наждаками последовательно 400, 600, 1500, 2000 зашлифовать. 1500 и 2000 нужно работать влажными.
Естественные недостатки древесины можно не закрывать а просто залакировать.
Лак можно наносить очень мягкой, волосяной!!!, кистью или из баллона. Быстросохнущие лаки не применять. После нанесения лака лак шлифуют наждаком 2000 и 4000 вручную с самым лёгким нажатием, а потом полируют пастой для полировки автомобилей. Чтобы упростить процесс, можно лакировать матовым лаком.

Такие комоды делали как барабаны Страдивари. Без расчёта на долгую службу.
Зависит от качества крепления рукояток (вплоть до того, что нужны будут новые ручки, а имеющиеся - на удаление) ; и глубины проникновения загрязнений. обычно простым ошкуриванием не получается, если что-то хлюпнуло \ пропитало. Необходима разборка и станочная обработка, или очень бережная станочная обработка без разборки. Желательно пропитать дерево, для уменьшения глубоких загрязнений и облегчения уборки.

от циклевать ..зашкурить удалить пятна... покрыть маслом... Подробней у дизайнера Марата КА на канале.

1. Снять ручки и прочие выступающие элементы.
2. Очистить с помошью УШМ или дрели с лепестковой наждачной насадки.
3. Зачистить вручную места, недоступные для обработки инструментом.
4. При желании покрыть очищенное дерево морилкой.
5. Покрыть защитным лаком. В 2 слоя.
6. Установить новые ручки. Если они деревянные, тоже покрыть лаком.