Умней выключатель требует по инструкции нейтральный провод. Будет ли работать без него?

будет

Если бы вы дали название выключателя - можно бы было ответить вам точно. А так, наугад только 2 варианта:
Воспользоваться имеющимся в проводке нолём (найти распредкоробку и проложить дополнительный провод ноля от распредкоробки до выключателя).
Проложить провод заземления от электрощита и подключить его к выключателю.

Не будет. Возьми вторую фазу раз у тебя нулевого провода нет. Или не говори, что у тебя его нет, а говори, что к выключателю не подведен, и подведи.

нет нулевого провода? не смеши. любой однофазный прибор использует фазу и ноль. или у тебя 3 провода в розетке?

Эл. розетка без заземления.. третий провод земля... работать конесн будет.

"...требует по инструкции нейтральный провод. Будет ли работать без него" -
не будет.
Внутри электронное устройство с собственным "блоком питания".
Работает от сети ~220 Вольт.

При замене обычного выключателя на "умный":
Если к старому выключателю подходили три провода
(фаза (L) приходит и два провода (L) уходят от выключателя к светильнику):
Определить, какие провода "уходящие". Один из них соединить с рабочим нулём (N) (N должен быть в месте крепления светильника. Для люстры - на потолке. И рядом с ним два провода (L) от выключателя.)

В месте установки выключателя фаза (L) уже была. Один из "уходящих" проводов станет "приходящим" рабочим нулём (N).
Оставшийся провод подключить на один из выходов (L) "умного выключателя".
Будет работать только одна группа ламп.
К "умному" обычно можно подключить несколько группы ламп.
Но тогда в месте установки должно быть больше проводов:
фаза (L), ноль (N) приходят, остальные провода (L) уходят на лампы.

Светильник подключить к нолю (N) и "приходящему (L)" от "умного выключателя".

Если к старому выключателю подходили два провода, вариантов немного:
Проводить к месту установки нулевой провод. (+ провода на группы ламп).
Отказаться от использования "умного выключателя".
Найти ему применение в другом месте.

Без него работать не будет. Но он есть в подрозетнике выключателя. Что мешает его подключить?

К выключателю (одинарному, одноклавишному) должно подходить два провода, один от сети (обычно это фаза), второй от лампочки, возможно этот провод от лампочки в инструкции и обозвали нейтральным. Все остальные провода (нейтральный, заземление и др) в выключателе не нужны. Выбросьте эту инструкцию, скорее всего это писал плохо знающий русский язык китаец, с китайской фабрики, выпускающей эти выключатели