может ли страховая компания подать на меня в суд?

Нет! Только если они выплатили больше чем положено по одному конкретному страховому случаю.
Например, если они выплатили 122 тыс. руб. , то 2 тыс. руб. они могут потребовать с Вас. Но... .
Вы можете быть с этим не согласны, так как оценка (осмотр) пострадавшего автомобиля проходило без Вашего участия и они могли вписать лишнее и т. д.
Но на практике такое встречается крайне редко. Особенно теперь... .
Еще они могут, простите, "на лоха сыграть"... У нас в Тольятти такое практикуется ОСАО "Астро-Волга". Больно у них юрист прошареный.
Вроде того, выплатят хорошо, не выплатят ну не получилось значит "развести".

Ваша ответственность застрахована, и больше чем Вы заплатили за полис они не могут и не должны с Вас требовать.
Не беспокойтесь!

Да. Это называется "суброгация"

Если застрахована ВАША МАШИНА - то это называется страхование имущества (КАСКО) и по данному виду страхования Старховщик НЕ БУДЕТ ПЛАТИТЬ ТОМУ У КОГО ВЫ ПОВРЕДИЛИ МАШИНУ. Она будет латить только Вам за покореженную ВАШУ машину вне завсисмости от того Вы виноваты или нет, конечно при условии что Вы обратитесь с соответствующим заявлением.
Если застрахована Ваша ответственность как владельца ТС (ОСАГО) - то платить будут тому в кого Вы "въехали" и требовать возмещения этих выплат не будут ибо Вы уже заплатили то страховой взнос (премию) когда покупали полис ОСАГО.
Одним словом : в любом случае требовать возмещения ущерба не будут за исключением одного случая: По ОСАГО когда Водитель виновный в ДТП был "под градусом"

В порядке регресса

Если Ваша гражданская ответственность в момент ДТП была застрахована (был полис ОСАГО) , то Вы будете должны страховой компании только в том случае, если сумма причиненного в результате ДТП ущерба превысит страховую сумму (для ОСАГО - 120000 рублей).