Может ли дознаватель по истечении 10 дней с момента получения заявления о возбуждении уг. дела,

В действительности ст. ст. 144, 145 УПК РФ в недостаточной степени регламентируют данный вопрос. Фактически ими не предусматривается возможность продления срока проверки сообщения о преступлении свыше 10 суток, в том случае, если нет необходимости в проведении документальной проверки.
Вместе с тем, ходатайств дознавателя прокурору об отмене постановления об отказе в возбуждении уговного дела и направлении сообщения о преступлении на дополнительную проверку законом также не предусмотренно.
На практике, в описанном Вами случае, дознаватели устно просят прокурора об отмене постановления об отказе в возбуждении уголовного дела, не исключена возможность указать на истинные причины отказа в ВУД в самом постановлении и сделать в нем вывод о необходимости доп. проверки.
Если ранее срок дополнительной проверки был определен и не мог превышать 5 суток, то в настоящий момент ч. 4 ст. 146 УПК РФ такой срок не устанавливает, и согласно ч. 6 ст. 148 УПК РФ, прокурор отменяя незаконное постановление дознавателя об отказе в ВУД, направляет материал начальнику органа дознания со своими указаниями, в том числе и по срокам дополнительной проверки, то есть она может быть более 5 суток.
Если не ошибаюсь, есть указание Ген. прокурора РФ, согласно которого, данная проверка не может превышать 10 суток, но это не точно, и касается это указание только прокуроров.

Да, ходатайство написать дознаватель может. И даже обязан по долгу службы, если отведенный срок истек, а не все обстоятельства выяснены

Зачем выносить постановление об отказе в возбуждении уголовного дела, если проверка проведена не в полном объеме, и дознаватель внутренне убежден в наличии состава преступления? Это похоже на кота, который сам себе на яйца наступил и орет. Необходимо с разрешения прокурора продлить срок проверки до 30 суток в соответствии со ст. 144 УПК РФ (например, обосновать необходимость проведения документальной проверки).

так чаще всего и происходит.. .
если не готова какая-нибудь экспертиза, кто-нибудь не опрошен и т. д.
доп проверка длятся 10 дней, потом может быть опять "отказной" с ходатайством и так может длиться до бесконечности!
ничего с этим не поделаешь...

зачем передавать когда можно взять продление

Читай УПК!

Переформулируйте вопрос. Укажите точное наименование процессуальных документов...

Бабла взять и отказать, вот мароку себе искать с продлениями томлениями)))

Читайте ст. ст. 144,145 УПК РФ, все подробно сказано. Если нет оснований для возбуждения уголовного дела, выносится постановление об отказе, которое можно обжаловать прокурору с подробным обоснованием. При этом и сроки проверки сообщения о преступлении и сроки дознания ограничены. Вопрос требует конкретизации в процессуальных документах.