Кто оплатит услуги адвоката?

нет, в случае проигрыша дела на работника не будут возложены обязанности по оплате услуг адвоката нанятого культурным учреждением:
В п. 4 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17 марта 2004 года N 2 "О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации" сказано о том, что по смыслу ст. 89 ГПК РФ и ст. 393 ТК РФ работники при обращении в суд с исками о восстановлении на работе, взыскании заработной платы (денежного содержания) и иными требованиями, вытекающими из трудовых отношений, освобождаются от судебных расходов. Таким образом, законодательство исходит из того, что на работника не могут быть возложены судебные расходы, если им заявлены в суде требования, вытекающие из трудовых отношений.

На основании ст. 100 ГПК РФ

нет

откуда у "культурного учреждения" деньги, не предусмотренные бюджетом, любопытно? и зачем адвокат на копеечное дело, если в штате учреждения есть юрист? странные вводные

В соответствии со статьёй 44 налогового кодекса, лицо не платившее пошлину при подаче в суд не может быть принуждено к выплате компенсации в. ч. адвоката, судебных издержек. Хотя в принципе такие дела отдаются на усмотрение суда, я не слыхал о том, что судья принимал бы иное решение. В любом случае можно подать аппеляцию.
Не переживайте, если проиграете, компенсацию платить не придётся!

да (пс это не головное право)

Статья 100. Возмещение расходов на оплату услуг представителя

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, по ее письменному ходатайству суд присуждает с другой стороны расходы на оплату услуг представителя в разумных пределах.

2. В случае, если в установленном порядке услуги адвоката были оказаны бесплатно стороне, в пользу которой состоялось решение суда, указанные в части первой настоящей статьи расходы на оплату услуг адвоката взыскиваются с другой стороны в пользу соответствующего адвокатского образования.